30. Januar 2010, 09:01

Wie dicht kann man gleich-große reguläre Tetraeder im Raum packen? Aristoteles soll behauptet haben, dass es eine perfekte Packung gibt, in der sie den Raum zu 100% ausfüllen. Der Irrtum hielt sich immerhin fast 1800 Jahre, bis Johannes Müller, genannt Regiomontanus (1436-1476), den Irrtum aufdeckte. Also sind 100% nicht zu erreichen, aber wie dicht kann man Tetraeder packen? Würfel lassen eine perfekte Packung zu (die man in Würfelzucker-Packungen bestaunen kann). Mit gleichgroßen Kugeln kann man den Raum nur zu 74,05% ausfüllen: die optimale Packung ist leicht zu konstruieren (Obsthändler verwenden sie auf dem Markt, um Orangen zu stapeln), aber der Beweis, dass die “offensichtliche” Packung optimal ist, war schwierig - das war die “Kepler-Vermutung”, von Johannes Kepler 1611 aufgestellt, und erst 1998 von Thomas Hales mit massiver Computerhilfe bewiesen. (Eine umkämpfte und umstrittene Lösung ....) (weiter)

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10. Januar 2010, 21:45

Ein bemerkenswerter Weltrekord ist vermutlich im Champagnerkorkenknallen für das Jahr 2010 = 2 * 3 * 5 * 67 untergegangen: Am letzten Tag des Jahres 2009 = 7 * 7 * 41 hat der französische Programmierer Fabrice Bellard die Berechnung der Kreiszahl π auf sagenhafte 2.699.999.990.000 Nachkommastellen bekanntgegeben. Das sind fast 2,7 Billionen Stellen, und damit 123 Milliarden mehr als bisherige Rekord. (weiter)

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11. April 2009, 18:48

Küken können rechnen - zumindest bis 5. Das hat eine italienische Wissenschaftlerin namens Rosa Rugano herausgefunden. Die Meldung geht um die Welt, teilweise auch mit dem expliziten Hinweis, es handle sich nicht um einen Aprilscherz - obwohl die Meldung genau am 1. April lanciert wurde. Die BBC veröffentlicht die Meldung auf ihrer Webseite mit ausgesprochen süßen Bildern, die dann doch eher meine Skepsis wecken.

Angeblich erscheine die wissenschaftliche Publikation dazu in den renommierten Proceedings of the Royal Society B: Biological Sciences, und in der Tat finde ich nach einigem googeln auch die Seite dazu - mit Online-Veröffentlichung am 1. April.  

  (Screenshot Proc. Royal Society B: Biological Sciences)

Schön: aber was soll ich da denken. Ich bin verwirrt. Können Sie mir helfen? Ist das nun ein Aprilscherz, oder nicht? Woran erkennt man das? Und ist das wichtig, oder doch nur so banal, dass eigentlich egal ist, ob das nun ein Scherz sein soll oder nicht? Ich bin ratlos. Frohe Ostern. 

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31. Dezember 2008, 15:48

Das Mathematikjahr 2008 ist vorbei. Was gab's Neues aus der Mathematik? Ergebnisse? Große Primzahlen! In der Tat, die Rekordmeldung von zwei neu-entdeckten Primzahlen mit mehr als 10 Millionen Stellen ist um die Welt gegangen, und wurde jetzt vom Time Magazine als eine der 50 wichtigsten Erfindungen des Jahres 2008 gefeiert:

 

Das wirft Fragen auf. Warum sind Primzahlen so interessant? Sind sie Erfindungen? Sind sie "gute" Erfindungen?? Natürlich sind sie keine Erfindungen, große Primzahlen kann man suchen und entdecken, aber nicht erfinden.

Primzahlen sind die "Atome der Arithmetik", ganz grundlegende Bausteine der Mathematik. Was Primzahlen sind, weiß jedes Kind aus der Schule. Man kann Primzahlen herzeigen - die 2, die 3, die 5, die 11, die 73, die 91. Die Primzahlen sind aber auch ein Glücksfall der Wissenschaftskommunikation:

1. Weil man von den Anfängen und den kleinen Beispielen so schnell zu ungelösten Fragen kommt: Gibt es unendlich viele Primzahlzwillinge (wie etwa 5 und 7, 11 und 13, 71 und 73)? Lässt sich jede gerade Zahl ab 4 als Summe von zwei Primzahlen schreiben (die Goldbach-Vermutung)? Wie viele Primzahlen mit 1000 Stellen gibt es? (Letzteres ließe sich recht präzise beantworten, wenn man die Riemann'sche Vermutung beweisen könnte.) 
2. Weil sich Primzahlen zum Wettrennen anbieten. Rekordmeldungen über Primzahlen sind ja wunderbar - und im Rahmen des GIMPS-Projekts kann jeder und jede mitmachen, mitsuchen. Und es gibt Preise zu gewinnen - 150.000 $ für eine Primzahl mit mehr als 100 Millionen Stellen. Das Rennen geht weiter - auch 2009 wird es Rekordmeldungen geben. Die "Formel M" der Mathematik hat ja auch keine Finanzprobleme, ganz im Gegensatz zur "Formel I" ... Mathematik ist eben eine billige Wissenschaft, liefert viel Nutzen mit wenig Geld und viel Hirn, ganz im Gegensatz zur "Formel I" ...
3. Und dann sind Primzahlen auch noch wichtig - für die Kryptographie, also etwa für die Sicherheit des Internet-Banking. Sogar der Suche nach großen Primzahlen hat noch praktischen Nutzen, etwa als Test für neue Computertechnologie. Das klingt theoretisch, ist es aber nicht - den berühmten "bug" im Pentium-Chip hat Thomas Nicely im Jahr 1994 bei der Berechnung der Brun'schen Konstante gefunden, die die Häufigkeit von Primzahlzwillingen misst.

Wunderbar auch, wenn mitten in der Finanzkrise, Krieg und Hunger ein Artikel von Wolfgang Blum über Primzahlen auf spiegel.de den Status "meist-gelesen" bekommt, zwei Plätze vor der Welternährungskrise:

 

"Most wanted" bei den Spiegel-Lesern sind also Primzahlen! Keep on going! Trotzdem der Vorsatz für's Neue Jahr: 2009 soll auch wieder Mathematikjahr sein, aber Sie sollen nicht nur Primzahlen zu sehen kriegen, sondern auch Geometrie - mit vielen Bildern. Und Optimierung, zwar eine theoretische Wissenschaft, aber unglaublich wichtig. Und vielleicht sogar Topologie. Topologie ist dem "Mann auf der Straße" schwer zu erklären - aber trotzdem. Vorsatz für's neue Jahr.

PS: ja, ich weiß, 91 ist keine Primzahl. Aber es ist die kleinste Zahl, die "aussieht wie eine Primzahl". Ich mag sie. 

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22. November 2008, 17:01

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16. September 2008, 19:53

Heute wurde vom GIMPS-Projekt endlich bestätigt, dass am 23. August und am 6. September zwei Primzahlen gefunden wurden, die jeweils deutlich mehr als 10 Millionen Dezimalstellen haben. Diese Zahlen füllen "ausgeschrieben" zwei bis drei dicke vollgedruckte Bände. Dass man solche Zahlen innerhalb von ein paar Tagen auf die Primzahleigenschaft überprüfen kann, zeigt eindrucksvoll, dass Zahlentheorie Hochtechnologie geworden ist. (Primzahltesten gilt in der algorithmischen Zahlentheorie eigentlich als einfach - aber natürlich nicht für so gigantisch große Zahlen; Nichtprimzahlen zu faktorisieren gilt als schwierig - das ist die Aufgabe, von der die Internet-Sicherheit abhängt, und die daher auch Geheimdienste wie die NSA brennend interessiert, die reihenweise höchstqualifizierte Zahlentheoretiker einstellen.) (weiter)

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31. August 2008, 22:58




Der Ishango-Knochen hat Kerbungen, in kleinen Gruppen, die in drei Reihen angeordnet sind. In einer der drei Reihen finden sich Gruppen mit 9, 11, 19 und 21 Kerben (insgesamt also 60 Kerben), in einer anderen Reihe 11, 13, 17 und 19 Kerben - das sind die Primzahlen zwischen zehn und zwanzig, wieder mit Summe 60. Vermutlich sind das nur zufällig Primzahlen - aber auf jeden Fall sind es absichtlich Zahlen, die etwas bedeuten. Was sie bedeuten, ist Gegenstand interessanter und umfangreicher Debatten. Aber auch wenn das letztlich nicht zu klären ist: Offenbar hat da zu Zeiten, als die Eingeborenen am Ishango-See wohl noch keine Schrift hatten, ja lange vor den Anfängen von Schrift überhaupt, jemand mit Zahlen gespielt, und er - oder sie - ist auf Primzahlen gestoßen, die Atome der Arithmetik! Damit ist der Ishango-Knochen das älteste Zeugnis mathematischer Kultur, das wir kennen. 

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26. Juli 2008, 16:16

Das "Wie-alt-ist-der-Kapitän-Phänomen" ist eine bekannte Sache aus der Mathematikdidaktik: Auf Aufgaben vom Typ 

Ein Kapitän transportiert auf seinem Kahn 11 Schafe über den Fluss. Die Überfahrt dauert 4 Minuten. Wie alt ist der Kapitän? 

antworten die Kinder bis zur zweiten Klasse "Blödsinn" und ab der dritten dann "15"! Da wird dann hemmungslos zusammengezählt, was eben nicht zusammen gehört. 

So viel als Vorrede zu drei Fundstücken, in denen Prozentzahlen hemmungslos addiert werden - obwohl alle ja doch in der Schule gelernt haben sollten, dass man das nicht so einfach darf. Zwei Preiserhöhungen um 100 Prozent ergeben ja doch eine Preissteigerung um 300%, oder?

Fundstück 1 stammt aus einem Enthüllungsbericht der Münchener Boulevardzeitung tz mit dem reißerischen Titel "tz deckt auf: Heimliche Preissteigerungen auf wichtigen Fernverkehrsstrecken
Bahn verlangt beim ICE bis zu 50 Prozent mehr" vom 28. Mai dieses Jahres. (Ich habe es in einem Blog der Berliner taz gefunden.) Darin heißt es:  

Immerhin: Nach Adam Riese gilt 3,4 + 3,1 + 2,9 + 5,6 + 2,9 = 17,9.

Fundstück 2 verdanke ich Martin Barner (Kassel), bei dem ich mich herzlich bedanke: der Präsident des Arbeitgeberverbands Gesamtmetall, Martin Kannegießer, schreibt in der Frankfurter Rundschau vom 31. Mai: 

Wer will bezweifeln, dass 8*10=80, nach Adam Riese? 

Fundstück Nummer 3, aus der Frankfurter Rundschau, verdanke ich Dirk Werner (FU Berlin): da werden die Prozentzahlen der Grünen aus Ost und West nicht nur "einfach so" zusammengezählt, sondern da steht in der Tat dann 1,2 + 3,8 = 5,1:

Wunderbar.

Aber Sie kriegen das alles ja nicht umsonst vorgeführt. Die Quizfrage an Sie lautet: Eine der drei Rechnungen ist in der Tat richtig! Welche?  

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12. Mai 2008, 10:07

An der Pinnwand in meinem Büro an der TU Berlin hängt ein Poster, das ich vor Jahren bei einem Bouquinisten an der Seine in Paris gesehen, und beim nächsten Paris-Besuch dann gekauft habe. Es zeigt einen nachdenklichen Einstein, und dazu das wunderbare Zitat

Do not worry about your difficulties in mathematics; I can assure you that mine are still greater.

Das Zitat ist Balsam für die Seele eines jeden, der gelegentlich über den Formeln verzweifelt (also auch für mich). Aber als kritischer Zeitgenosse muss ich doch fragen: Ist das nicht eigentlich zu schön, um wahr zu sein? Einstein hat ja viel gesagt, noch mehr geschrieben, wird immer wieder gern zitiert. Aber hat er's gesagt?

Die Antwort ist "ja": Nachfrage beim Einstein Papers Project am CalTech ergibt: Das Zitat ist authentisch - Einstein schrieb den Satz in
einem Brief an Barbara Wilson, eine Mittelstufenschülerin, am 7. Januar 1943. Der Brief ist publiziert, in "Dear Professor Einstein" von Alice Calaprice, Prometheus Books, 2002, page 140.

Wenn's nur immer so einfach wäre, wenn man wüsste, wen man fragen soll. Hier ist ein anderer Klassiker, angeblich von John von Neumann (1903-1957):

If people do not believe that mathematics is simple, it is only because they do not realize how complicated life is.

Das Zitat ist wunderbar, und es enthält eine tiefe wissenschaftlich-philosophische Weisheit: Wenn das Leben kompliziert ist (und das nehmen wir ja an), dann lässt sie sich auch nicht mit einfachen Hilfsmitteln "in den Griff kriegen". In Anbetracht der

The unreasonable effectiveness of Mathematics in the Natural Sciences

(so ein berühmter Vortragstitel/Aufsatz des Nobelpreisträgers Eugene Wigner aus dem Jahr 1960 - authentisch!) dürfen wir also wirklich nicht erwarten, mit "einfacher" Mathematik so etwas kompliziertes wie "das Leben" in den Griff zu kriegen.

Aber John von Neumann, hat er's gesagt, oder geschrieben? Der Satz ist wahr, er ist ein Klassiker, aber ist er wirklich von John von Neumann? Das Zitat ist zeitlos, also könnte er eigentlich auch von Einstein sein, oder von Hilbert? Ist er von John von Neumann?
Stanislaw Ulam berichtet über John von Neumann:

One thing about Johnny, he tended to tell people what they wanted to hear.

(in: "Conversations with Rota", Los Alamos Science, Number 15, Special Issue Stanislaw Ulam 1909-1984, Seite 304).

Ich will's wissen. Ist das von Neumann-Zitat echt? Wikiquote weiß es auch nicht. Wissen Sie's?

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28. März 2008, 08:21

Kennen Sie Einstein? Vielleicht der bedeutendste, sicher aber der berühmteste Physiker des 20. Jahrhunderts? Natürlich kennen Sie den. Einstein ist Popstar, das Bild mit der herausgestreckten Zunge ist eine Ikone. Einstein wird zu allem und jedem zitiert - siehe

Do not worry about your difficulties in mathematics. I can assure you that mine are still greater!

 (aus einem Brief vom 7. January 1943 an eine Schülerin) und

The most powerful force in the universe is compound interest.

(klingt gut, aber nicht authentisch - laut Auskunft vom Einstein Papers Project, Caltech). Einstein ist der berühmteste Physiker des 20. Jahrhunderts, und daran werden die groß angelegten Feierlichkeiten zum 150. Geburtstag von Max Planck (am 23. April) so schnell nichts ändern.

Kennen Sie Grothendieck? Alexander Grothendieck, geboren am 28. März 1928 in Berlin? Er war vermutlich der bedeutendste Mathematiker des 20. Jahrhunderts! Oder versuchen Sie, mich von einem "Gegenkandidaten" zu überzeugen? Grothendieck war/ist ein mathematischer Gigant, hat mit bloßen Händen die Grundlagen der modernen algebraischen Geometrie gelegt, ist bewundert und ausgezeichnet worden, unter anderem 1966 mit der Fields-Medaille, dem "Nobelpreis der Mathematiker". Seit Anfang der 70er Jahre ist er schrittweise  ausgestiegen - lebt heute (vermutlich) völlig zurückgezogen und isoliert irgendwo in Südfrankreich. In der Öffentlichkeit ist der Name kaum bekannt, Grothendieck ist sicher kein "Popstar". In der aktuellen Zeit portraitiert ihn Winfried Scharlau, selbst ein renommierter Mathematiker, und Romanautor ("I megali istoria - die große Geschichte" ist ausgesprochen lesenswert!), der seit Jahren an einer groß-angelegten Grothendieck-Biographie arbeitet. Einstein kennen Sie, den Namen Grothendieck sollten Sie auch nicht vergessen. Grothendieck ist ein ganz Großer. Grothendieck hat heute seinen 80. Geburtstag. Ich nehme nicht an, dass er ihn feiert. Happy 80. Birthday, Professor Grothendieck!

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