Das Bild der Zukunft ist meist linear
Wenn wir über eine gewisse Zeit Fakten gesammelt und diese als Messwerte sogar in Zahlen vorliegen haben, dann neigen wir dazu, sie zur besseren Übersicht in eine Schemazeichnung einzutragen. Nach rechts notieren wir den Zeitpunkt der Messung nach oben die gemessene Größe.
So erhalten wir viele Punkte, deren Lage wir betrachten und beurteilen: Geht es mit der Sache aufwärts oder abwärts oder hin und her? Meist verbinden wir die Punkte mit geraden Linien, manchmal auch in einem kühnen Schwung mit einer Kurve, wenn die Anordnung der Punkte dies anbietet.
Das Verfahren verdanken wir den Analytikern des 17. Jahrhunderts, u. a. René Descartes, das ist jener Mathematiker, nach dem das „kartesische“ Koordinatensystem benannt ist.
Seither ist dieses Verfahren das wohl populärste zur Darstellung von gemessenen Sachverhalten. Alle lieben es, auch die mit einer „Mathe-Phobie“. Denn erstens ist es einfach anzuwenden und zweitens signalisiert es harte Daten, Verlässlichkeit und präzise Vorhersagen. Mal sehen, wie ich Sie damit verführen kann!
Angenommen Sie haben fünf Messdaten wie in Abb.1 dargestellt. Da die Punkte so schön auf einer Geraden liegen, ist es verlockend, die Gerade wie in Abb.2 auch einzuzeichnen und über den letzten Messpunkt hinaus zu verlängern:
Abb.1Abb.2
Jeder macht das so und denkt fortan, dass ein linearer Zusammenhang zwischen den gemessenen Einzelwerten besteht, und vor allem: er lässt das auch andere denken. Denn jeder Betrachter des Graphen muss die Gerade als das deuten, was sie geometrisch darstellt. Er wird die Gerade mit den Augen kontinuierlich abfahren, und er wird überall den linearen Zusammenhang für plötzlich unendlich viele vermeintliche Messwerte herauslesen, auch nach rechts über den letzten wirklich gemessenen Wert hinaus.
Halt, lieber Leser, natürlich geschieht das nicht so naiv. Natürlich werden Sie als verantwortlicher, vielleicht wissenschaftlicher Autor der Grafik, nicht einfach eine Gerade durch fünf Punkte ziehen, nur weil die zufällig auf einer solchen liegen. Sie werden sich vorher vergewissern, dass Ihre Messergebnisse tatsächlich in dem linearen, d. h. proportionalen Verhältnis stehen, dass also ein funktionaler Zusammenhang in der gemessenen Sache besteht, der die Gerade rechtfertigt. Nicht wahr? Das tun Sie doch! Notfalls erheben Sie noch einige Zwischenwerte, damit Sie sicher sind. Und wenn Sie Hinweise darauf haben, dass es sich nicht um eine lineare, sondern um eine quadratische Beziehung handelt, werden Sie keine Gerade, sondern eine Parabel durch Ihre fünf Punkte legen. Gell? Das geht doch – oder?
Der Wissenschaftstheoretiker Bernulf Kanitscheider formuliert das Problem so: „... so ein Blatt mit vielen Tintenpunkten, bei denen man nicht sieht, ob sie irgendeiner Abhängigkeit folgen. Nun lässt sich im Prinzip immer eine Kurve da durchlegen... Das heißt also, die Existenz einer Kurve liefert nicht notwendig die Unterscheidung zwischen zufällig und gesetzesartig. Das war ja die ursprüngliche Frage von Leibniz.“ Klingt philosophisch und ist auch so gemeint. Kanitscheider hat diese Sätze am 28. Juli 2008 in seinem Vortrag während der Tagung "Muss der 'wahre' Naturwissenschaftler Atheist sein? Über das Verhältnis von Glaube und Wissen" gesprochen. Unser Blog-Kollege Michael Blume hat dort ebenfalls vorgetragen und die Veranstaltung in seinem jüngsten chronologs-Beitrag bestens dokumentiert.
Ich kann Kanitscheiders Vortrag nur empfehlen, der MP3-Mitschnitt ist in 18 Kapitel aufgeteilt, die alle hörenswert sind, auch wenn hier die Kapitel 11 und 12 von besonderem Interesse sind.
Was hat nun das „Verhältnis von Glaube und Wissen“ mit unserer Geraden zu tun? Nun, vordergründig etwas mit der direkten Frage: Wissen Sie denn, ob Ihre fünf Messwerte einem linearen Zusammenhang entspringen, oder glauben Sie das nur, weil Ihre Punkte in Koordinatendarstellung zufällig auf einer Geraden liegen? Tiefgründiger stellt sich die Frage bei allen Beobachtungen und Daten – dann vor allem, wenn die funktionalen Zusammenhänge komplex sind und Sie Aussagen über künftige Entwicklungen machen wollen. Beides ist bei den meisten aktuellen Menschheitsproblemen gegeben. Entsprechend sind die Diskussionen geprägt von Wissen und von Glauben, wobei sich fast jeder bemüht, den Anschein des Wissenden zu erlangen, aber implizit viel Glauben einfließen lässt. Mancher führt sein Argument im Brustton der Überzeugung, indem er zum Beweis alle seine schönen Kurven zeigt.
Doch Vorsicht! Die Vermittlung von Fakten mit visuellen Medien gerät leicht aus der Bahn. Das liegt zum guten Teil und unausweichlich an unserem Wahrnehmungssystem. Wir haben eine hohe Neigung, diskrete Elemente als Kontinuum zu sehen, also beispielsweise eine Reihe von Punkten als Linie. Wir ergänzen gern die Zwischenräume, auch die zeitlichen. Und wir erkennen gerne Muster und Strukturen, auch wenn keine gemeint sind.
Wenn wir nicht wissen, was gemeint ist, sollten wir unseren Augen und unserem Hirn misstrauen. Die pure Anordnung von empirischen Daten in Form von Punkten gibt alleine noch keinen Sinn. In Abb.2 kann die Gerade f1(x)=2x gemeint sein, muss es aber nicht.
Es könnte auch die Funktion
f2(x)= -0,01x5 + 0,1x4 - 0,35x3 + 0,5x2 - 0,24x + 2x
dahinter stecken. Die Zukunft sähe dann ganz anders aus bei gleicher empirischer Vergangenheit (Abb.3).
Abb.3
Informationstheoretisch ist f2(x) ein viel komplizierterer Ausdruck als f1(x). Nun erklärt Kanitscheider mit wunderbar klaren Worten (hören Sie dazu Kapitel 11 und 12), dass das ein Maß für Zufälligkeit bzw. Komplexität ist: „Selbst wenn die Punkte zufallsverteilt sind, lässt sich immer eine Kurve finden“ und „eine Anordnung ist genau dann zufällig, wenn die Beschreibung extrem komplex ist“ und schließlich „damit bekommen wir einen Komplexitätsbegriff, indem wir sagen‚ wir identifizieren Zufälligkeit mit Komplexität.“
So weit ist alles klar, doch wahrnehmungstheoretisch bleibt ein Problem. Wir können per Anschauung nicht erkennen, wie zufällig die Anordnung einer endlichen Zahl von Punkten ist. Wir wissen also nicht, wie komplex unsere Beschreibung zu sein hat. Immer aber versuchen wir eine einfache Beschreibung in Form einer einfachen Kurve zu finden, notfalls durch eine frei gezogene Linie in relativer Nähe zu den Punkten. Aus der leiten wir – und von uns nicht kontrolliert die Öffentlichkeit – dann eine unendliche Zahl von Interpretationen und Vorhersagen ab. Die Flüsterpost nimmt ihren Lauf.
Ein Beispiel aus wissenslogs, das bisher positiv verlaufen ist, aber die Gratwanderung im Umgang mit Grafiken deutlich aufzeigt: Reinhard Breuer schreibt am 28. Juli unter „Ersäuft die Erde?“: "Experten halten es für möglich, dass die Arktis bereits diesen Sommer erstmals eisfrei wird.“ Jost Pöttner fragt daraufhin kritisch nach: „Woher stammt diese Aussage?“ und Breuer antwortet seriös mit seiner Quelle "North Pole could be ice free in 2008", New Scientist, 25 April 2008. So weit ist alles korrekt.
Betrachtet man diese Quelle näher, aus der ja nicht nur Reinhard Breuer schöpft, so fällt zunächst die Grafik auf. Sie zeigt die gemessene Ausdehnung der arktischen Eisfläche seit 1978 jeweils im März zu ihrem jährlichen Maximum. Ich habe die Grafik hier einmal nachgebaut (Abb.4):
Abb.4
Der Verfasser hat eine „Trendlinie“ hinzugesetzt, die Raum für Interpretationen gibt. Mehr noch: Diese Gerade zwingt förmlich zu der optischen Extrapolation über die Messwerte hinaus in Richtung zukünftiger Entwicklung. Diese Gerade sagt, „es wird weiter abwärts gehen mit einer negativen Steigung von -0,044, was einem jährlichen Rückgang der Eisfläche von 44.000 km² entspricht“.
Woher nimmt der Autor diese „Trendlinie“? Vermutlich hat er sie durch ein Programm* erstellen lassen und dabei toleriert, dass er implizit eine Linearisierung und damit eine mögliche Interpretation von Millionen anderen Interpretationen vorgenommen hat.
Das ist das Entscheidende. Der Datensatz selbst wird durch diese Gerade nicht beschrieben, mit Sicherheit ist seine Struktur sehr viel zufälliger und komplexer im oben zitierten Sinn. Der Autor weiss das und beschreibt die Komplexität in seinem Text wortreich. Entsprechend bleibt er vage in seinen Vorhersagen und benutzt brav den Konjunktiv. Mit seiner Grafik aber verführt er. Eventuell sogar sich selbst, indem er seine (alle möglichen Faktoren einbeziehende) Diskussion sanft dem Trend der verlockenden Geraden folgen lässt. Mit Sicherheit aber verführt er andere, die sich verkürzt mit dem Thema beschäftigen oder deren Geschäft gar die Propaganda des vermeintlichen Trends ist. Und die sprechen dann nicht mehr im Konjunktiv!
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* Wenn Sie das einmal selbst ausprobieren möchten, öffnen Sie folgende Excel-Datei ice.xls
Gehen Sie mit dem Mauszeiger irgendwo auf die Kurve und klicken Sie rechts. Wählen Sie in dem aufspringendem Menü „Trendlinie hinzufügen“ und dann das Icon „linear“. Experimentieren Sie auch mit dem Icon „polynomisch“ und mit unterschiedlichen Werten für „Reihenfolge“.
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Das ist ein gelungener Beitrag. Bleibt zu hoffen, dass er auch wahrgenommen wird -- vor allem durch die schreibende Zunft.
Allerdings finde ich das Beispiel mit dem Polynom 5. Grades etwas konstruiert (vgl. Abbildung 3): Es kommt hoffentlich keiner auf die Idee, mit 5 Datenpunkten eine Funktion schätzen zu wollen. Und wenn schon, dann würde wohl niemand ein solches Polynom wählen.
Ein weiteres Beispiel für eine fehlerhafte Anwendung/Interpretation des linearen Modells und meine Kritik daran findet sich auf dem KoopTech-Blog (wobei sich meine Kritik nur auf die Abbildung von Kolo und Meyer-Lucht bezieht, nicht auf den umgebenden Text von Christiane Schulzki-Haddouti).
Ganz genau deswegen braucht man in der Wissenschaft ja im Grunde immer zwei Thesen: Man postuliert erst einen Zusammenhang, überlegt sich, wie die Gegenthese aussehen könnte und erhebt anschließend die Daten, von denen man vorhergesagt hat, dass sie zwischen beiden Hypothesen unterscheiden.
Der ein-Datensatz-eine-These-Dreh ist nur halt so verführerisch, und das nicht nur für Journalisten.
Lieber Herr Weiss,
danke für die Aufmunterung und für den Link. Ja, das ist so ein Beispiel, was Sie da aufgespießt haben.
Kleine Anmerkung zu >Allerdings finde ich das Beispiel mit dem Polynom 5. Grades etwas konstruiert< :
Ich sehe keine Gefahr darin, dass jemand fünf linear aufgereiten Datenpunkten mit einem Polynom 5. Grade zu Leibe rückt, also mit funktionalen Kanonen nach Datenspatzen schießt.
Eher umgekehrt.Ich habe dieses relativ einfache Beispiel gewählt für folgenden Fall: Stellen Sie sich vor, dass ein Sachverhalt zwar durch eine relativ komplexe Funktion (z. B. durch ein Polynom 5. Grades oder z. B. durch eine überall nicht differenzierbare Funktion) beschrieben werden müsste, der Beobachter aber zufällig einige (immer endlich viele) Messdaten erhält, die auch durch eine einfachere Funktion beschrieben werden können, und nun glaubt .....
Dieser Fall kommt täglich vor.
Lieber Herr Große,
super, ein sehr schöner Beitrag, da könnte ich jedes Wort unterstreichen ;-))....und da muss ich meinen Lesern gleich einen Hinweis darauf geben.....
...eine schöne Erklärung, warum sich in der Wissenschaft grundsätzlich "Wissen" und "Glauben" immer gemeinsam präsentieren:
"Entsprechend sind die Diskussionen geprägt von Wissen und von Glauben, wobei sich fast jeder bemüht, den Anschein des Wissenden zu erlangen, aber implizit viel Glauben einfließen läßt.
und Kompliment dafür, dass dank Ihrer Erklärung kein Mathephobiker das Weite suchen muss ;-))
bei Scilogs.....
Lieber Herr Große,
damit zusammen kommt, was zusammen passt:
das "trackback" for you ;-)))
Monika Armand Lesehinweis: Beitrag von Werner Große
Liebe Grüße M.A.
Liebe Frau Armand, da neige ich mein Mathematikerhaupt in Demut.
Lieber Herr Große,
wenn ich auf diesem Wege mein heutiges "Fundstück" welches auch irgendwie hierher passt, vorstellen darf? Wenn das kein Zufall ist? - ich meine, dass sich die Beispiele so schön anbieten? ;-))
"Lärm um Nichts?" Oder Zwei-Klassen-Lärmschutz?
Im Unterschied zu Ihrer schönen Erläuterung oben, ist die "Ursache" des Problems dort noch nicht geklärt ;-)
Sehr geehrter Herr Große,
ich habe Ihren Artikel mit großem Interesse gelesen, da ich als Lehrer diese Problematik immer wieder im Unterricht thematisiere. Immer wieder beobachte ich die kritiklose Übernahme von grafischen Darstellungen durch Schüler (und auch durch Kollegen). Dies betrifft aber nicht nur die grafischen Darstellungen. Auch harte "Fakten" werden gerne kritiklos übernommen. Dazu folgendes vergnügliche Beispiel: In einer Aufgabe zur Statistik sollen die Schüler (Jahrgangsstufe 11)die Entwicklung der Storchenpaare und der Einwohner in einem kleinen Ort untersuchen und einen eventuellen Zusammenhang beurteilen. Die Auswertung ergibt einen Korrelationskoeffizienten von 0,95. Die Frage, ob denn nun der Klapperstorch die Kinder bringt, wurde durchaus von einigen Schülern so beantwortet, dass ein gewisser Zusammenhang nicht zu leugnen sei. Der Glaube an die Korrektheit des mathematischen Instrumentariums führt zu einer Überinterpretation. Aber immerhin: ein Schüler hat die Problematik "erkannt". Seine Antwort:
"Trotz des hohen Korrelationskoeffizienten ist die Aussagekraft, dass der Klapperstorch die Kinder bringt, gleich Null, da es biologisch bewiesen ist, dass die Kinder nicht vom Klapperstorch gebracht werden, sondern durch die Frau!"
Es lebe der Aufklärungsunterricht!
Mit freundlichen Grüßen
H.F.
Lieber Herr Förtsch, die alltäglichen Fehlschlüsse aus Scheinkorrelationen und deren verheerende Wirkungen beschreibt Gunter Dueck in seiner schon legendären und sehr amüsanten Abhandlung
Korrelatalschaden! Egal Wie!
Informatik Spektrum, Band 28, Dezember, Heft 6, Seite 498-503 (2005.
Da Sie vermutlich ein Mathematiklehrer sind, könnten sie die Kurzfassung des Artikels vielleicht leichter in den DMV Mitteilungen Band 15, Heft 3, 2007, S178 einsehen.
Gunter Dueck betreibt hier in wissenslogs.de den wild-dueck-blog,
http://www.wissenslogs.de/.../blog/wild-dueck-blog
der insgesamt lesenwert ist. Duecks home: http://www.omnisophie.com/
Ich wünsche Ihnen weiter guten Erfolg bei der sexuellen wie philosophischen Aufklärung jener Generation, die mal meine Rente ... Sie wissen schon: Dazu brauchen wir nicht viele, sondern Kluge.
Diesen katastrophalen Übersetzungsfehler von Excel hatte ich ja ganz vergessen. Und es hat tatsächlich weder in Office 2000 noch 2003 (andere hab ich nicht) jemand Microsoft gesteckt, daß man "Order of the polynom" besser also "Grad" oder "Ordnung des Polynoms" bezeichnen sollte.
Und, ja, diese Tagung war wirklich sehr gelungen! Dem Lob an den Vortrag von Prof. Kanitscheider kann ich mir nur anschließen! Ich hatte, nach der Lektüre vieler Texte von ihm, eigentlich einen kämpferisch vorgetragenen Wahrheitsanspruch gegenüber den Religionen erwartet (und war ja als sein Counterpart vorgesehen) - stattdessen leistete er einen wundervollen und tiefsinnigen mathematisch-philosophischen Appell zu erkenntnistheoretischer Reflektion und Demut. Und auch die Gespräche außerhalb der öffentlichen Teile waren ertragreich und auch menschlich angenehm.
So schön Texte (und Blogs ;-) ) auch sind, man muss die Menschen halt auch persönlich kennenlernen!
Vielleicht haben also Texte, Vorträge, Grafiken und Begegnungen je ihre ganz eigene "Verführungskraft" - und der gereifte Suchende setzt auf die Kombination...
Lieber Michael, es freut mich, dass ihr offenbar eine Tagung hattet, die zwischenmenschlich in anständigen Bahnen verlaufen ist und frei war von persönlichen Angriffen.
Bei aller Freude über die gute Atmosphäre sehe ich in der Sache jedoch weder Frieden noch Eierkuchen. Kanitscheider hat im Rahmen des Tagungsthemas "Muss der 'wahre' Naturwissenschaftler Atheist sein?" mit seinem zusammenfassenden Schlußsatz „... dann gibt es kein echtes Ignorabimus“ klar geantwortet, dass ontologisch für einen naturwissenschaftlich Denkenden eigentlich kein Platz für Theismus bleibt.
Das wird glasklar in der Diskussion mit dem Theologen Wolfgang Beinert. Bezogen auf Kanitscheiders Ausführungen über die Intelligibiltät der Welt und über Unmöglichkeitsbeweise, hatte Beinert schlicht Gott als das Nichtbeweisbare, dann auch als das Unbegreifliche definiert. Kanitscheider klärte nun explizit, dass Beinert den Satz „Gott ist unbegreiflich“ als einen analytischen Satz versteht und dass somit der Satz keinen semantischen Gehalt hat. Auch wenn Beinert vorschützt „das verstehe ich nicht“ offenbart dieser Dialog das ganze Dilemma: Nach einem Vortrag naturwissenschaftlicher Erkenntnisse nimmt ein Theologe einen der verwendeten und wohldefinierten Begriffe und missbraucht ihn in einer analytischen Form als mit Gott identisch. Der Naturwissenschaftler entlarvt darauf diesen Gottesbegriff als banal.
Wenn das, lieber Michael, mal kein Angriff auf gängige Gottesbegriffe in den Religionen ist. Kanitscheider hat – wie du sagst – keinen „kämpferischen Wahrheitsanspruch gegenüber den Religionen“ vorgetragen, er hat – viel vernichtender – den ontologischen Kern von Religion als inhaltsleer bezeichnet.
Wie du damit zurecht kommst, muss ich dir überlassen. Ich muss zugeben, dass ich deine umfangreichen Ausführungen zur Evolution von Religion nicht intensiv verfolge (klar sind Religionen Produkt einer evolutionären Entwicklung, wie im übrigen alles andere auch). Denn eigentlich treibt mich dieses Thema, zumindest hier in „Allwissende Medien“, nicht sonderlich um. Bei allem, was wir nicht wissen, wissen wir vieles. Das gilt es unter die Leute zu bringen. Leere Sätze wie „Gott ist unbegreiflich“ gehören nicht dazu.
Danke für Deinen Beitrag! In einigen Aspekten habe ich Kanitscheider aber anders verstanden.
Zum einen hat er ja gerade nicht als Naturwissenschaftler gesprochen (das ist er nicht), sondern als Philosoph. Und auch die Mathematik, auf die er sich ingeniös bezog, ist ja nun alles andere als eine Naturwissenschaft! Die naturalistische Grundeinstellung teile ich mit ihm. Und dass es kein letztes Ignorabimus (keine per se unlösbare Frage) geben muss, bedeutet ja nun gerade nicht, dass schon alle Fragen beantwortet wären! Und dass (atheistische wie auch theistische) Naturalisten Gott nicht als einen innerweltlich-ontologischen Lückenbüsser benötigen, finde ich auch eher beruhigend als alles andere. Den "ontologischen Kern von Religion" macht eine innerweltliche Existenz Gottes sicher nicht aus!
"Ich muss zugeben, dass ich deine umfangreichen Ausführungen zur Evolution von Religion nicht intensiv verfolge (klar sind Religionen Produkt einer evolutionären Entwicklung, wie im übrigen alles andere auch)."
Danke. :-)
"Denn eigentlich treibt mich dieses Thema, zumindest hier in „Allwissende Medien“, nicht sonderlich um. Bei allem, was wir nicht wissen, wissen wir vieles."
Und werden wohl, solange es die Menschheit gibt, auch noch immer die Chance haben, Dinge zu erfahren, die wir noch nicht wissen - oder Dinge zu begreifen, die wir eigentlich schon wissen könnten.
"Das gilt es unter die Leute zu bringen."
Genau. Versuchen wir ja beide auch, jeder in seinen Themenschwerpunkten.
"Leere Sätze wie „Gott ist unbegreiflich“ gehören nicht dazu."
Das Phänomen "Gottesglauben" an sich ist empirisch zugänglich. Also können wir es erforschen. Und schon der Umstand, dass vermeintlich "leere Sätze" enorme, beobachtbare Wirkungen (z.B. auf das Verhalten von Menschen) entfalten, ist doch ein interessantes und zu klärendes Phänomen. Offensichtlich schert sich das Universum und die Evolution des Menschen darin nicht um das, was wir bislang unter Logik verstehen (und warum sollten sie auch?).
Ob Religiosität "nur" ein Teil unserer zufällig evolvierten Natur ist oder darüber hinaus ein (rationaler? überrationaler?) Erkenntnisprozess - man wird sehen (bzw. "schauen" ;-) ). Bisher können wir immerhin sagen, dass Religiosität seit mindestens einigen tausend Generationen biologisch-reproduktiv sehr erfolgreich war und ist. Mal schauen, was noch zu entdecken ist. Von Ignorabimus-Rufen wollen wir uns ja nicht aufhalten lassen! :-)
Nochmal danke für den wunderschönen Blogbeitrag und herzliche Grüße
Michael