Der Schmetterling und das Chaos

Wieder dieser Schmetterling, der mit einem Flügelschlag einen weit entfernten Sturm auslöst. Diesmal sitzt oder fliegt er in Shanghai und der Sturm ist ein Wirbelsturm in New York. Davor war er in Tokio und verursachte einen Tornado in New Orleans. Die Orte wechseln, doch das Beispiel bleibt, dieser Schmetterling ist nicht totzukriegen.

Welch ein starkes Paradigma! Aber wofür? Für den asiatische Angriff auf die amerikanische heile Wetterwelt?

Keineswegs. Der Schlag des Schmetterlingsflügels steht für das Chaos, das die Welt regiert und das die Wissenschaft „an ihre Grenzen“ führt. So jüngst nachzulesen in brainlogs.de bei Monika Armands Beitrag Das Unfassbare erfassen? Komplexitätsforschung, Chaos und Ordnung....

Indem ich ihr Beispiel aufgreife, will ich Frau Armand keineswegs kritisieren, zeigt ihr Artikel doch, dass ein über 40 Jahre alter Forschungsgegenstand endlich den schmalen Steg zwischen Natur- und Geisteswissenschaft auch vermittelst der Massenmedien passiert hat. Ich nehme die Gelegenheit lediglich zum Anlass, um über den typischen Irrweg wissenschaftlicher Informationen durch Buch, Presse und TV zu reflektieren, und ich will versuchen zu erklären, was dabei so regelmäßig schiefgeht. Frau Armand werde ich in Schutz nehmen müssen, weil sie nicht Urheberin, sondern Leidtragende all der unzulänglichen Berichte und Kommentare ist.

Doch zunächst Kern und Ziel meiner Kritik: Das Beispiel des Schmetterlings, der mit einem winzigen Hauch einen riesigen Sturm verursacht, ist zwar populär, aber eher ungeeignet, die Chaosforschung zu erhellen. Leider bringt es die zu klärende Sache – nämlich das Phänomen der Sensibilität gegenüber Anfangsbedingungen – dem Wissbegierigen kaum näher. Seinen Erfolg im Medienzirkus verdankt der Schmetterling der Sensation, die an ihm haftet und die sein Bild bei jedermann erzeugt: Da sitzt ein harmloser bunter Falter auf einer Blüte in Shanghai und zittert mit dem Flügel und ahnt nicht, dass er jenseits des großen Meeres Leid und Elend über Tausende bringen wird. In diesem Bild ist alles enthalten, was ein medialer Dauerbrenner braucht: Überraschendes, Unfassbares und Schreckliches – aber leider kaum Erläuterndes.

Der Meteorologe Edward Lorenz hatte in den 60er Jahren die Metapher vom Schmetterling (da war der noch in Südamerika angesiedelt) in den Ring geworfen, um sein Modell des globalen Wettersystems zu kennzeichnen. Doch während sein Modell – als Lorenz-Attraktor in der Fachliteratur viel zitiert – sonst kaum jemand wahrnimmt oder gar versucht zu verstehen, hat sich die Metapher vom Schmetterling weltweit verselbstständigt. 

Bitte, der inzwischen unsinnige Gebrauch dieser Metapher ist eine Geburt der Medien. Sie läuft über Bildschirme und Zeitungsseiten, ohne inhaltliche Wirkung. Der Begriff Chaos bleibt ungeklärt. Chaos ist per se nicht schrecklich, komplexe Systeme sind nicht unfassbar. Komplexität ist auch nicht kompliziert, ihr Journalisten! Bringt mir nicht die Leute durcheinander mit eurer billigen Sensationsgier. Unvorhersagbarkeit ist nicht die Ausnahme, sondern die Regel in dieser Natur, ihr Geisteswissenschaftler! Seien Sie beruhigt, das kann man erklären und verstehen – auf einfachste Art. Ein bisschen Reduktionismus tut da allerdings ganz gut.

Ist denn das Schmetterlingbeispiel etwa nicht einfach?

Nur vermeintlich: Zwar kennt jeder die Zartheit des Flügelschlags. Jeder weiß von der ungebändigten Energie des Sturms. Also wäre das Beispiel aus der Lebenswirklichkeit von uns allen gegriffen. Doch darum geht es nicht. Das eigentliche Phänomen, das es vorgibt zu erläutern, nämlich die Kette der Wirkungen innerhalb des dynamischen Systems, bleibt unerklärt. Die eigentliche Kausalität und vor allem die Rekursivität des Vorgangs ist in dem Modell nicht abgebildet. Deshalb ist es nicht einfach. So bleiben Fragen und entstehen irrationale Folgerungen. Wie schaukelt sich die Energie auf? Macht jeder Schmetterling eine Katastrophe? Wäre die auf ihrem Weg von Shanghai nach New York noch irgendwie aufzuhalten? Müssen wir alle Schmetterlinge töten? Muss mal wieder Bruce Willis als Held ran?

Lachen Sie nicht. Solche Gedanken finden sich in jeder gängigen Diskussion über Systeme, die rekursiv, dynamisch oder komplex sind. Die Diskrepanz zwischen der Diskussionsbereitschaft zu Fragen des Kosmos, der Umwelt, der Gesellschaft oder gar des Geists einerseits und der grundlegenden Verständnislage über solche Systeme andererseits ist ungeheuer.

Verstehen Sie mich recht. Natürlich sind die Abläufe in solchen Systemen kompliziert. Das Bewegungs- und Verhaltensinventar nichtlinearer Systeme mit zahlreichen Akteuren und Parametern ist tatsächlich unüberschaubar. Aber ihre systemimmanenten Bedingungen und Abgrenzungen kann man verstehen. Man kann verstehen, was Chaos ist, wo es auftritt und wo nicht. Wir müssen uns hüten, Eigenschaften wie chaotisch oder unvorhersagbar den Systemen naiv zuzuordnen. Wetter ist nicht immer chaotisch, Technik ist nicht immer sicher. Aber manchmal schon oder auch oft. Zu wissen wann und warum, ist wichtig und möglich.

Wir werden lernen müssen, damit besser umgehen zu können. Wer dem Laplace'schen Zeitgeist entwachsen will, sollte nicht den Fehler begehen, nun wieder alles Gott oder dem Schicksal zuzuschreiben. Sonst droht ein Rückfall in animistische religiöse Vorstellung über die Vielfallt der Erscheinungen. Frau Armand hat Recht, dass man die Sache mit viel Geduld angehen muss.

Dazu brauchen wir einfache Anschauungsmodelle. In Schule und Alltag müssen wir lernen, aus welchen Beispielen der Lebenswirklichkeit abstrakte Begriffe wie Rekursion, Linearität, Chaos oder Unvorhersagbarkeit abgeleitet sind. Überspitzte Fallbeschreibungen helfen wenig. Ich probiere es einmal mit einem einfachen dynamischen System, das noch nicht komplex ist.

Es soll durch folgende Rekursion (Iteration) bestimmt sein: „Wähle einen  Anfangswert.  Zieh’ davon sein eigenes Quadrat ab und multipliziere dann mit vier. Wende dasselbe Verfahren auf das Ergebnis an und dann so weiter über beliebig viele Generationen“. 

Das ist ein sehr einfaches dynamisches System. Man beginnt mit einem Anfangswert x₀ und erhält über die Rekursionsformel deterministisch den nächsten Wert x₁ und so weiter x₂, x_3, ... Die Zukunft des Systems lässt sich gut vorhersagen. Beginnt man etwa mit 2 als Anfangswert, führt das zu der Folge -8, -288, -332.928 und sehr schnell zu extrem großen negativen Werten. Das Beispiel sieht langweilig aus.

Setzt man aber als Anfangswert Zahlen zwischen 0 und 1 ein (z. B. 0,3), wird die Sache interessant. Das System zeigt plötzlich Verhaltensformen, die man nicht vermutet hätte. Natürlich macht es keinen Spaß, das im Kopf zu rechnen. Doch wir alle verfügen über genügend maschinelle Rechenleistung, um das auszuprobieren. Experimentieren Sie doch ein wenig mit dem System. Es wird also von der Rekursionsformel x_n+1 = 4*(x_n - x_n²) und einem Anfangswert x_o bestimmt.

Wer sich beispielsweise mit Excel etwas auskennt, kann das in wenigen Minuten selbst programmieren*. Für den schnellen Zugriff habe ich hier eine entsprechende Excel-Datei vorbereitet:

chaos2.xls. Sie dürfen die Datei gerne herunterladen.

Mit Absicht habe ich die Programmierung offengelegt*, damit Sie sehen, wie leicht es ist, solche Experimente am Computer selbst durchzuführen. Wenn man das einige Male getan hat, sieht man die Welt mit anderen Augen an: vor allem Diskussionsrunden im lieben Fernsehen, in denen Spitzenpolitiker und –manager mal so eben die Entwicklung der Bevölkerung, der Börsen, des Klimas und vieles mehr für die nächsten 50 Jahre abschätzen. Solche Systeme werden von ganz ähnlichen Rekursionsformeln bestimmt, allerdings von mehreren gleichzeitig, die sich gegenseitig bedingen. Das macht die Sache komplex. Dann könnte es sein, dass die Leistung Ihres Computers nicht mehr ausreicht, Ihre Vorstellungskraft aber auch nicht mehr.

Also beginnen wir ganz klein und einfach. Das mechanische Weltbild wurde auch zunächst am einfachen Pendel entwickelt und erst später am Sechszylindereinspritzmotor.

Wenn Sie die Komplexität eines Systems mit immerhin zwei gekoppelten Rekursionen sehen wollen, empfehle ich Ihnen einen Blick in „Ein Weg ins Chaos“.

* Sie können die Excel-Programmierung selbst versuchen, hier ist das Rezept:

 

1. in Excel hat jede Zelle einen Namen, die erste oben links heißt A1.
2. Tippen Sie in A1 zunächst die Zahl 0,3 ein und klicken Sie zur Bestätigung den grünen Haken in der Menüzeile.
3. Geben Sie in A2 die Formel =4*(A1-A1²) ein. Das "="- Zeichen ist wichtig.
4. Klicken Sie den grünen Haken und in A2 erscheint 0,84 als Ergebnis.
5. Der Rest geht schnell: Markieren Sie die Zelle A2. Der Rahmen der Zelle hat dann unten rechts ein kleines Quadrat. Dieses Quadrat ziehen Sie mit gedrückter linker Maustaste nach unten über so viele Zellen wie Sie wollen. Die Rekursionsformel wird dadurch entsprechend übertragen.
6. Sie können die Zahlenfolge grafisch darstellen: Dazu markieren Sie die Zahlenfolge. Unter „Einfügen“ in der Menüzeile wählen Sie „Diagramm“. In dem aufspringenden Diagramm-Assistenten wählen Sie im linken Fenster „Linie“ und dann im rechten Fenster links oben das Piktogramm mit den zwei Kurven. Bestätigen Sie mit „fertigstellen“ und zack haben Sie die Grafik.

 

Jetzt können Sie experimentieren, indem Sie in A1 für 0,3 andere Zahlen eingeben. Lohnend ist der Vergleich von zwei sehr ähnlichen Anfangswerten, z. B. 0,4000 und 0,4001. Dann sehen Sie die Sensibilität des Systems gegenüber Anfangsbedingungen. Spannend sind Werte in der Nähe von 0,5 und bei genau 0,5. Dasselbe gilt für 0,25 und 0,75.