04. Mai 2010, 08:00

... doch der zweite folgt sogleich. Nach der sprachlichen Gleichheit, hier nun die Fortsetzung:

„Alles ist Zahl“, sagte Aristoteles. Und Galilei, der ansonsten Aristoteles’ Weltbild weitgehend stürzte, schlug in dieselbe Kerbe: „Die Philosophie steht in diesem großen Buch geschrieben, dem Universum, das unserem Blick ständig offen liegt. Aber das Buch ist nicht zu verstehen, wenn man nicht zuvor die Sprache erlernt und sich mit den Buchstaben vertraut gemacht hat, in denen es geschrieben ist. Es ist in der Sprache der Mathematik geschrieben, und deren Buchstaben sind Kreise, Dreiecke und andere geometrische Figuren, ohne die es dem Menschen unmöglich ist, ein einziges Wort davon zu verstehen; ohne diese irrt man in einem dunklen Labyrinth herum.“ [1], [2]

Das nährt den Verdacht, dass schon vor uns große Geister auf den Gedanken gekommen sind, dass die Sprache der Mathematik hinreichen könnte zur Beschreibung der Welt, zumindest der natürlichen, worin auch immer die nicht-natürliche bestehen mag.

1988 hatte ich die Gelegenheit, den Mathematiker Benoit Mandelbrot in einem Filmdokument zu portraitieren (Interviewpartner H.-O. Peitgen). Darin führt er den oben zitierten Satz von Galilei gedanklich fort: „Es ist erstaunlich, wie weit die Wissenschaft mit dieser kleinen Sprache gekommen ist, lediglich bestehend aus Dreiecken, Kreisen und ähnlichen Figuren. Die fraktale Geometrie hat diesen einfachen Figuren viele weitere einfache Figuren hinzugefügt, die die Eigenschaft der Selbstähnlichkeit aufweisen, und so hat sich diese Geometrie heute zu einer sehr reichen Sprache entwickelt.“

 

Benoit Mandelbrot 1988 in dem Filmportrait 
Das Zitat stammt aus der 31. Minute des Films
Foto: (c) Werner Große

Seither sehe ich die Welt neu. Blätter und Bäume beschreibe ich nicht mehr in der deskriptiven Sprache der biologischen Bestimmungsbücher, sondern in der Sprache Mandelbrots. Sie ist einfacher, genauer und obendrein schöner – wenn ich mir diese Bemerkung geschmacklichst erlauben darf.

Die Formen von Wolken, Gebirgen und Schneeflocken verstehe ich nun nicht mehr 
    als 1-, 2-, oder 3-dimensional,
    also nicht mehr als ganzzahlig-dimensional,
    sondern als gebrochen-dimensional.
Eine z. B. 1,2618-dimensionale Form sieht natürlicher aus als ein Kreis oder ein Rechteck [3]. Diese fraktale Beschreibungsweise ist unendlich vielfältiger und detaillierter (das „unendlich“ dürfen Sie wörtlich nehmen). In ihr lassen sich sogar Formen kreieren, die Mutter Natur bislang nicht erfunden hat, aber ohne weiteres hätte erfinden können.

 
Diesen fraktalen Farn hat mir vor 20 Jahren
mein Neffe zum Geburtstag gerechnet und geplottet. 
                                                    Aber davon gibt es inzwischen viele

Ein Modehaus wird schlauerweise seine Frühjahrsfarben als Mint, Rosé oder Malve bezeichnen. Hinsichtlich des Stoff-Färbens oder des Katalog-Drucks werden sich die Fachleute aber Bezeichnungen bedienen, die den Ort einer Farbe im Farbraum präzise und damit reproduzierbar bestimmen. Geht es um die bunte Welt, sind Umgangssprachen gewiss mächtig (was ist eigentlich Pink?). Aber selbst eine Million Vokabeln würden nicht hinreichen, um alle vom Auge unterschiedenen Farben zu benennen. In der Sprache der Mathematik geht das. Auch mit jenen Farben, die das physiologische Auge nicht sieht, und selbst mit solchen, die die Instrumente der Physiker nicht erfassen: Ich rede von denkbaren Farben jenseits der naturwissenschaftlichen Wirklichkeit. Was würde wohl Goethe dazu sagen?  

Das Beispiel soll zeigen, dass wirklich nichts dagegen spricht, Galileis oder Goethes und insbesondere Lagerfelds Universum in blumige oder schillernde Worte zu hüllen, solange sie hinreichen. Manchmal ist es jedoch sinnvoll, sich reicheren Sprachen zu bedienen als den natürlichen. Dass das notwendigerweise mit einem Verlust an Sinn einhergeht, scheint ein unausrottbares Vorurteil zu sein. Menschen, die nicht verfolgt haben, wie weit die mathematischen Ausdrucksmöglichkeiten seit Galileis Zeiten gediehen sind, sollten vorsichtig sein mit Aussagen über deren Weitreichigkeit.

Meine gewollt ambige Schlagzeile „Über die sprachliche Gleichheit“ habe ich eingangs auf das mathematische Gleichheitszeichen reduziert. Für die bisherige Diskussion war das nützlich. Nun möchte ich den Begriff wieder aufweiten.

Es könnte ja der Verdacht nahe liegen, dass die ach so exakte Mathematik zwar gut mit Identitäten umgehen kann, Zwischentöne, Stimmungen oder Metaphern aber nur schlecht erfasst. „Gleichheit“ hat aber auch Facetten wie Ähnlichkeit, Kongruenz, Entsprechung, Analogie etc., aber gerade diese Begriffe findet man in allen Ecken der Mathematik. Man bedenke, dass der Gegenstand von Geometrie, Algebra, Topologie, Arithmetik und allen anderen Teilgebieten vor allem Strukturen sind, und zwar Strukturen als solche, also die strukturellen Eigenschaften an sich. Man könnte die Mathematik geradezu als die Wissenschaft von den Strukturen bezeichnen bzw. als die Wissenschaft von den Abbildungen zwischen den Strukturen. Wer hier gedanklich eintaucht, mag schneller als andere sehen, wie potent gerade die Mathematik ist, Nuancen auszudrücken, mit denen sich natürliche Sprachen u. U. sehr schwertun.

Die Mathematik versucht also nicht, Wissen in den Naturwissenschaften zu generieren. Wohl aber im Bereich des wissenschaftlichen Formulierens. Mag sein, dass die Verwandtschaft von „Formulieren“ und „Formeln finden“ derzeit leicht übersehen wird.  Für die Wissenschaftskommunikation der Zukunft ist sie aber von entscheidender Bedeutung. Zu Zeiten der textbasierten Medien (Buch, Zeitschrift) war der Unterschied zwischen Fließtext und Formelsprache bereits typografisch auf den ersten Blick auszumachen. Mit der Entwicklung der Bildmedien lösen sich diese Grenzen allmählich auf. Ob ein mathematischer Algorithmus, eine Realaufnahme oder eine künstlerische Gestaltung das Leinwandgeschehen bestimmt, ist mitunter nicht mehr zu sehen.

Ich bin weit davon entfernt, die Mathematik als die universelle Sprache preisen zu wollen. Auch will ich nicht die Diskussion in die Metamathematik treiben [siehe Anmerkung]. Hier geht es um Banaleres: In den verschiedenen Wissensgebieten wird – ich drücke das im obigen Sinn einmal sprachlich aus – sehr unterschiedlich gut „mathematisch“ gesprochen.

Das liegt selbstredend am jeweiligen Gegenstand, nach dem sich das Maß einer sinnvollen Abstraktion und Formalisierung zu richten hat. Allerdings haben die Fachgebiete dadurch tradierte Abstände zur Mathematik bezogen. Die Physik liegt ihr nah, die Kunst fern. Leider scheint dieser Zustand kulturell zementiert [4]. Schade, dass meine Kunstlehrerin nicht wenigstens etwas „mathematisch“ gesprochen hat, von meiner Deutschlehrerin ganz zu schweigen. Ich selbst habe als Lehrer 1972 in einem (Mädchen-)Gymnasium die Mathematik in solche Fächer zu tragen gewagt: Es geht!

Bleibt zu hoffen, dass der alte Graben zwischen den Geistes- und Kulturwissenschaften einerseits und den Natur- und Ingenieurwissenschaften andererseits langsam überwunden wird. Die Mathematik könnte dabei moderieren.

Anmerkung
Einen schnellen Überblick über die Verankerung der Mathematik in Philosophie und formaler Logik erhält man auf der Internetseite der Deutschen Mathematiker-Vereinigung

[1] Galilei, Galileo: Il Saggiatore,1623
[2] Spektrum der Wissenschaft Spezial 2/2008: Ist Mathematik die Sprache der Natur?
[3] Mandelbrot, Benoit: Die fraktale Geometrie der Natur, Birkäuser, 1987
[4] Enzensberger, Hans Magnus: Zugbrücke außer Betrieb oder die Mathematik im Jenseits der Kultur, u. a. in „Die Elixiere der Wissenschaft“, Suhrkamp 2002

 

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03. Mai 2010, 08:00

Schon früh lernen wir, dass zwei Äpfel und drei Äpfel fünf Äpfel sind. Kaum können wir schreiben und rechnen, wird dieses Wissen zu der Formel »2+3= 5« abstrahiert. Sie erlaubt es, einen Sachverhalt über Mengen auszudrücken, unabhängig davon, ob es sich um Äpfel oder Birnen handelt.

Allerdings wird dieser Abstraktionsschritt sehr verschieden verarbeitet. Die meisten unter uns finden mit dem erlernten Einmaleins die Gewissheit, eine höhere Wahrheit in Händen zu halten im Sinne von: „Solange zwei und zwei vier ist ...!“. Die Mathematik erscheint ihnen insgesamt als wahr - wird gerade dadurch aber zum Mysterium.

Anderen wird irgendwann bewusst, dass eine mathematische »Gleichung« lediglich eine sprachliche (semantische) Gleichheit feststellt. Mit ihr wird eine Aussage in eine andere, »gleich«-bedeutende übersetzt – und zwar genau. Was immer links von einem Gleichheitszeichen steht, sagt exakt dasselbe aus wie das, was rechts steht.

Was sagt z. B. »2+3« aus? Was bedeutet »2«? Das mathematische Zeichen »2« meint per Definition »1+1«. Bevor Sie ob meiner Wortspalterei die Hände über dem Kopf zusammenschlagen, überlegen Sie sich bitte, ob Sie eine bessere Bestimmung des Wortes »zwei« bzw. der Ziffer »2« finden. Entsprechend steht »drei« bzw. »3« für »1+1+1«. Haben sie Geduld, lieber Leser, ich bin gleich am Ende meiner grundlegenden Betrachtung dessen, was die Mathematik ausmacht: Der Ausdruck »2+3« lässt sich folglich auch schreiben als »1+1+1+1+1«, was wiederum nichts anderes ist als die Definition der Ziffer »5«.

Wir haben es also keineswegs mit einer höheren Wahrheit im Sinne einer Erkenntnis der Wirklichkeit zu tun, sondern lediglich mit einer Umformulierung innerhalb einer klar definierten Sprache: »zwei plus drei« bedeutet dasselbe wie »fünf«, Ende, basta – so banal ist das! Da hat niemand gemessen, experimentiert oder Daten erhoben. Hier wurde nur benannt und gefolgert.

Ach ja, natürlich mussten wir zuvor noch vereinbaren, was wir unter »1« (»eins«) und unter »+« verstehen wollen. Aber wenn wir das haben, rappelt die Zahlentheorie los – und mit ihr die gesamte Mathematik – auf den Gleisen der formalen Logik als ein beständiges Neuformulieren, Verkürzen und Strukturieren. So entsteht das Denkgebäude der Mathematik Gleichung um Gleichung und Satz um Satz.

Diese hier für das Argument zugespitzte Charakterisierung der Mathematik soll also auf Folgendes hinweisen: Anders als die meisten unter uns glauben mögen, hält sich die Mathematik fern von der in den Wissenschaften sonst angestrebten Wahrheitsfindung. Sie beschränkt sich auf Aussagen der Form „wenn ... wahr ist, dann ist auch ...  wahr“. Wenn du fünf Äpfel hast, dann kannst du auch behaupten, du hättest zwei Äpfel und nochmal drei Äpfel (oder neun weniger vier). Für viele reale Situationen ist das äußerst praktisch. Aber ob du wirklich fünf Äpfel hast, interessiert den Mathematiker nicht.

Insofern ist die Mathematik sehr nützlich, wenn auch nicht immer leicht verständllich.
Das hat sie mit anderen Sprachen gemein.
Schauen Sie sich spaßeshalber einmal die folgende Gleichung an:
e^iπ = -1
In Worten steht da: „Anstelle von » e hoch i mal π « kann man auch »-1« sagen“. Hätten sie das gedacht? Verstehen Sie das? Manche Mathematiker können sich an dieser Gleichung wegen ihrer Schönheit gar nicht satt sehen. 
Und Sie? Angenommen Sie kennen die Definitionen von e, i und π als »irrationale« bzw. »imaginäre« Zahlen (siehe Anmerkung unten), dann könnte man Ihnen Schritt für Schritt die Gleichung herleiten. Ob sich anschließend in Ihrem Kopf eine Vorstellung entfaltet, die eine Brücke zu
»-1« zu schlagen vermag, ist eine andere Frage. Mir ist das bei aller intimen Kenntnis der beteiligten Zahlen bisher nicht gelungen. Trotzdem darf man jederzeit den einen Ausdruck in den anderen gewissermaßen blind übersetzen.

Da fragen wir: "Zu wessen Nutzen?" Klar ist, dass jemand, der versteht, was »-1« bedeutet, wenig davon hat, wenn ihm ein mathematischer Schlaumeier verkündigt:

„Das ist doch dasselbe wie e^iπ.“

Sollte aber eines Tages ein Ingenieur, der π  für jedes kreisförmige Objekt braucht, auf einen Physiker treffen, der i für nahezu jede Berechnung der komplexen Welt benutzt, und sollten sich dann noch Biologen, Wirtschafts- und Sozialwissenschaftler dazugesellen, für die e die Kerngröße aller Wachstumsvorgänge ist – wenn also solch unterschiedliche Wissensleute zusammenkommen sollten und vielleicht feststellten, dass Ihre Welten über e^iπ miteinander verknüpft sein könnten, dann hätte der Mathematiker einen großen Auftritt mit der Bemerkung: „Warum so kompliziert? Ihr meint in eurer Wirklichkeit »-1«, in Worten »minus eins«!“

Dieser Fall ist so bisher wohl nicht geschehen. Aber unabschätzbar viele ähnliche Fälle. Bei ihnen war die jeweilige Übersetzungsleistung der formalen Sprache „Mathematik“ hochwillkommen – Einstein konnte ein Lied davon singen. Der Mathematiker glänzt dann wie jeder andere Sprachkünstler, sei er Festredner, Poet oder Dolmetscher, dem es gelungen ist, diffizile Gedanken treffender, kürzer und genauer auszudrücken – vorausgesetzt seine Sprache ist reich genug!

Wäre zu diskutieren, wie reich die Sprache der Mathematik ist. Das werde ich in einem zweiten Artikel in ein paar Tagen hier an gleicher Stelle tun. Bis dahin mag ich Ihnen die Beiträge der Kollegen in unserem
Bloggewitter: Mathematik/Sprache/Wissenschaft
empfehlen.

__________________________
Anmerkung
i = √-1, Wurzel aus -1 ist eigentlich nicht vorstellbar. i ist aber als Einheit der »imaginären« Zahlen sehr wichtig.
e = 2.718 ... , π = 3,141 ... , (es folgen jeweils unendlich viele Stellen). Die „Euler’sche Zahl“ e und die „Kreiszahl“ π sind beide  „irrational“ und „transzendent“. Schade, dass der „Goldene Schnitt“ g = 1,6180 ... nicht auch noch in der Formel vorkommt. Das würde die Schönheitsdiskussion anfachen, zumal g maximal „irrational“ ist, d. h. irrationaler geht’s nicht.

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24. Februar 2010, 21:33

Vielleicht leuchtet der vermeintliche Gegensatz nicht spontan ein. Doch glaube ich, dass sich an ihm die Qualität einer Präsentation entscheidet: Wer nämlich die Folien seines Vortrags erst einmal abzuzählen beginnt, gerät leicht auf jenen sprichwörtlichen Holzweg, wo es dann holpert und stolpert. Mehr noch: Wer seinen Gedanken in einzelne Folien zerlegt, riskiert, sich konzeptionell selbst ein Bein zu stellen.

Zum Beispiel bat mich neulich erneut ein Seminarteilnehmer um Rat: „Reichen 15 Folien für mein Referat?“ Mit gespielt verdutzter Miene fragte ich zurück: “Wofür?“. „Na, für meine Vortragszeit von 20 Minuten – mit wie vielen Folien rechnen Sie denn so pro Vorlesungsstunde?“ Ich musste passen, denn da „rechne“ ich nicht.  (weiter)

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10. Januar 2010, 21:26

Oder führen Sie mit PowerPoint vor? Den kleinen Unterschied mag man leicht überlesen. Übersehen wird man ihn nicht!
Denn Ihr Publikum hat ein feines Gespür dafür, ob Sie etwas vorführen oder ob Sie primär das vorführen, womit man etwas vorführen kann. In deutlicheren Worten: Noch immer zeigen PowerPoint-Vorträge über weite Strecken überwiegend die Fertigkeiten des Vortragenden hinsichtlich seiner Hilfsmittel. (weiter)

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07. Dezember 2009, 14:13

..., ist schon sehr erstaunlich. Doch vorweg: Im Grunde geht es nicht um PowerPoint. Es geht mir um die Vermittlung von Information mit Medien, um „mediale Vermittlung“ also. Als ob diese semantische Tautologie – man „vermittelt“ etwas „mit Mitteln“ –  nicht schon an sich trivial genug wäre. Mehr noch: Die meisten Vermittler reiten diesen weißen Schimmel hoch zu Ross wie einen bockigen Esel. Ich will damit sagen, dass es inklusive technischer Tücke nicht an Versuchen fehlt, Leinwände und Lautsprecher medial mit Raffinesse zu füllen, wenn nicht gar zu überfüllen, dass aber oft auf der Strecke bleibt, um was es eigentlich gehen sollte: Der Inhalt, den es zu vermitteln gilt! (weiter)

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23. Oktober 2009, 20:14

Seit meiner letzten Ritterburg vor fünfzig Jahren habe ich nicht mehr mit solch einer Begeisterung etwas aus Karton zusammengeklebt, wie diesen Fernseher des Herrn Galilei. Sie verstehen nicht? Fernseher, das ist auf Altgriechisch ein Teleskop. Galilei selbst nannte sein Urexemplar telescopio. Jetzt liegt eine Replik dieses ältesten Fernrohrs der Geschichte auf meinem Schreibtisch.

Alles fing damit an, dass ich das Kapitel Telekommunikation für meine Wintervorlesung vorbereitete. Wie immer war ich zu spät dran und raffte den Stoff bei „www.weißte-nicht-wo-was-und-wer“ wild zusammen: Spiegeltelegrafie im Altertum, Gauß’ und Webers elektromagnetischer Telegraf, Morses Einfinger-Ticker, Transatlantik-Telefonkabel – alles mit Ziel auf GPS, Web 2.0 und weltumspannenden Mobilfunk. (weiter)

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20. September 2009, 22:20

Mit diesem Betreff versieht unsere Kollegin Michaela solche E-Mails, bei denen wir lediglich einen Anhang oder einen Link zur Kenntnis nehmen sollen. „Schau mal drüber“, hieß das früher. In den vergangenen Wochen habe ich nicht geguckt, weder da noch sonst wo. Ich hatte –  rein physiologisch – kein Einsehen mehr oder auf Kaya-Yanar-Deutsch: Auge kaputt! Die Linse meines linken Auges war innerhalb weniger Monate trüb geworden. (weiter)

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19. Juli 2009, 23:06

„ ... an dem blauen Himmelszelt“. Pures Lebensgefühl der Romantik um 1848, denn das Lied geht so weiter: „Zu dem schönsten Morgenrote führst du uns, o guter Mond“. Aber wohin hat uns die Raumfahrt geführt?

Jedenfalls 1969 bis zu eben jenem Mond, bemannt und mit einem „großen Sprung für die Menschheit“. Der Augenblick an jenem 21. Juli vor 40 Jahren war nicht weniger romantisch, denn die halbe Welt saß in Kleingruppen dicht gedrängt vor verrauschten TV-Geräten mit Zimmerantennen und träumte von fernen Zielen. Doch was ist aus dem großen Sprung geworden? (weiter)

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15. Juni 2009, 09:00

... auch die erwünschte? 2010 naht und damit das konzeptionelle Ende des Prozesses, der Europa auf ein effektiveres Bildungsniveau bringen soll. „Zum Wohle aller“, sagen die einen, „zum kulturellen Niedergang“, die anderen.

Was sagen die Betroffenen? Ich habe sie gefragt. Ich habe die 250 Studierenden angeschrieben, die ich in den vergangenen vier Semestern in einem Bachelor-Studiengang Medienwissenschaften unterrichtet habe. Ich habe sie eingeladen, meinen Platz hier in den „Allwissenden Medien“ als Gastautor zu übernehmen. Ich habe 250 ambitionierte Kandidaten für Berufe wie PR-Manager, Pressesprecher, Journalisten, Filmemacher, kurz zukünftige Meinungsbildner und Informationsvermittler gefragt. (weiter)

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16. Mai 2009, 23:12

Es kann sein, dass der heutige 16. Mai 2009 einst als denkwürdiger Tag in die Geistesgeschichte der Menschheit eingehen wird. Denkwürdig im wahrsten Sinne des Wortes, weil an ihm möglicherweise eine neue Ära des Denkens und des Wissens für uns alle eingeläutet wurde. Wenn dem einst so sein sollte, dann kam es so: (weiter)

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